Question

1．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C的左右焦點，直線l過F₂且與C的右支交于A，B兩點，若△F₁AB為直角三角形，且|F₁A|，|AB|，|F₁B|成等差數(shù)列，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 求出|AB|=4a，|AF₁|=3a，|AF₂|=a，由勾股定理，可得a，c的方程，運用離心率公式計算即可得到．

解答 解：設(shè)|AF₂|=m，|BF₂|=n，
由|AF₁|-|AF₂|=2a，∴|AF₁|=2a+|AF₂|=2a+m，
同理|BF₁|=2a+n，
∵|F₁A|，|AB|，|F₁B|成等差數(shù)列，
∴2|AB|=|F₁A|+|F₁B|，
∴2（m+n）=4a+m+n，
∴|AB|=m+n=4a，
設(shè)|F₁A|＜|F₁B|，則∠F₁AB=90°，
∴（2a+m）²+16a²=（2a+n）²，
∴m=a，n=3a，
∴|AF₁|=3a，
∴4c²=9a²+a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時考查勾股定理的運用，靈活運用雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．