Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax．
（1）若a≥$\frac{1}{4}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，運用配方，結(jié)合條件，可得導(dǎo)數(shù)小于0，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（2）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）-a成立”，等價于“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合參數(shù)分離，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$-a=$\frac{lnx-1-al{n}^{2}x}{（lnx）^{2}}$，
由-a（lnx）²+lnx-1=-a（lnx-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$-1，
由a≥$\frac{1}{4}$，可得-a≤-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4a}$-1≤0，
即有f′（x）≤0，f（x）遞減．
則當(dāng)a≥$\frac{1}{4}$，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（1，+∞）；
（2）命題“若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立”，
即為“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤（f′（x）+a）_max”，
由（1）知，當(dāng)x∈[e，e²]時，lnx∈[1，2]，$\frac{1}{lnx}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
f′（x）+a=-（$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
則（f′（x）+a）_max=$\frac{1}{4}$，
問題等價于：“當(dāng)x∈[e，e²]時，有f（x）≤$\frac{1}{4}$成立”，
即有$\frac{x}{lnx}$-ax≤$\frac{1}{4}$，即為a≥$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$在[e，e²]成立，
令g（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$，g′（x）=$\frac{-1}{x（lnx）^{2}}$+$\frac{1}{4{x}^{2}}$
=$\frac{l{n}^{2}x-4x}{4{x}^{2}（lnx）^{2}}$，由ln²x∈[1，4]，4x∈[4e，4e²]，
即有g(shù)′（x）＜0，g（x）在[e，e²]上遞減，
則x=e²時，g（x）取得最小值，且為$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$，
即有a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$．

點評 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)思想的合理運用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．