Question

1．已知函數(shù)f（x）=cos（x-$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（B）=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由兩角差的余弦公式及半角公式將f（x）化簡，求得f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可求得函數(shù)f（x）的值域；
（2）由（1）可知，將f（B）=1，代入即可求得B=$\frac{π}{6}$，根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB，代入即可求得a的值．

解答 解：（1）f（x）=cos（x-$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$，
=cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$+1-cosx，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+1，
=sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，
由正弦函數(shù)性質(zhì)可知sin（x-$\frac{π}{6}$）的值域為[-1，1]，
函數(shù)f（x）的值域[0，2]；
（2）f（B）=1，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=0，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+3-2×a×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得：a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2，
∴a=1或a=2．

點評 本題考查三角函數(shù)在恒等變換中的應(yīng)用，考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．