Question

已知f（x）=

ax2+b

x2+1

．若當x∈R時，f（x）的最小值是5
（Ⅰ）求b的取值范圍；
（Ⅱ）對給定的b，求a．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由f（0）=b，當x∈R時，f（x）的最小值是5，可得b≥5；
（II）分b-2a≥0時，和當b-2a＜0時，兩種情況，結(jié)合基本不等式和對勾函數(shù)的單調(diào)性，可求出滿足條件的a的范圍．

解答： 解：（I）∵f（0）=b，
當x∈R時，f（x）的最小值是5
∴b≥5，且a＞0，
（II）（i）當b-2a≥0時，f（x）=

ax2+b

x2+1

=a

x2+1

+

b-a

x2+1

≥2

a(b-a)

=5      …（6分）
當且僅當a

x2+1

=

b-a

x2+1

時，即x=±

b-2a a

時取到    …（8分）
此時，a=

b- b2-25

2

，特別當b=5時，a=

5

2

           …（10分）
（ii）當b-2a＜0時，
令t=

x2+1

．（t≥1），
則f（x）=g（t）=at+

b-a

t

，當t≥1時為增函數(shù)    …（12分）
故f（x）的最小值滿足g（1）=a+b-a=b=5，此時a＞

5

2

綜上所述當b=5時，a≥

5

2

；當b＞5時，a=

b- b2-25

2

   …（14分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，基本不等式，綜合性強，轉(zhuǎn)化麻煩，屬于難題．