Question

14．如圖所示，三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是線段AB的中點，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=$\frac{3}{2}$，PB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為13π．

Answer 1

分析 由題意得PA²+PB²=AB²，即可得D為△PAB的外心，在CD上取點O₁，使O₁為等邊三角形ABC的中心，在△DEC中，過D作直線與DE垂直，過O₁作直線與DC垂直，兩條垂線交于點O，則O為球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半徑，

解答 解：由題意，PA²+PB²=AB²，因為$\left\{\begin{array}{l}{AB⊥DE}\\{AB⊥DC}\\{ED∩DC=D}\end{array}\right.$，∴AD⊥面DEC，
∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，
在CD上取點O₁，使O₁為等邊三角形ABC的中心，
∵D為△PAB斜邊中點，∴在△DEC中，過D作直線與DE垂直，過O₁作直線與DC垂直，兩條垂線交于點O，則O為球心．
∵∠EDC=90°，∴$∠OD{O}_{1}=3{0}^{0}$，
又∵$D{O}_{1}=\frac{1}{3}CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴OO₁=$\frac{1}{2}$，三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+C{{O}_{1}}^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，
三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR²=13π，
故答案為：13π．

點評 本題考查了幾何體的外接球的表面積，解題關(guān)鍵是要找到球心，求出半徑，屬于難題．