18.如圖所示,已知S是邊長(zhǎng)為1的正三角形所在平面外一點(diǎn),且SA=SB=SC=1,M,N分別是AB,SC的中點(diǎn),求異面直線SM與BN所成角的余弦值.

分析 連接CM,過N作NQ∥SM,并連接BQ,根據(jù)中位線的性質(zhì),直角三角形邊的關(guān)系以及余弦定理表示出BN,NQ,BQ,并根據(jù)余弦定理求出cos∠BNQ,從而求得∠BNQ,并根據(jù)∠BNQ的大小判斷該角是否是異面直線SM,BN所成的角,并求出這個(gè)角.

解答 解:如圖,連接CM,過N作SM的平行線NQ,交CM與Q,連接BQ;
則SM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,NQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$;BQ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$,BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴cos∠BNQ=$\frac{\frac{3}{16}+\frac{3}{4}-\frac{7}{16}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$,
∵NQ∥SM,∴∠BNQ是異面直線SM與BN的所成角余弦值為$\frac{1}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 考查三角形中位線的性質(zhì),余弦定理,異面直線所成的角的概念及求法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

8.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.則稱點(diǎn)對(duì)[P,Q]是函數(shù)y=f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)[P,Q]與[Q,P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”).已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x,x>0}\\{-{x}^{2}-4x,x≤0}\end{array}\right.$則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有2對(duì).

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9.(1)設(shè)U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0};若(∁UA)∩B=∅,求m的值.
(2)設(shè)集合A={x|-2≤x≤5},B={x|n+1≤x≤2n-1},B⊆A,求n的取值范圍.

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6.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著《數(shù)學(xué)九章》中有“米谷粒分”問題:糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧,糧農(nóng)送來(lái)米1512石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得216粒內(nèi)夾谷27粒,則這批米內(nèi)夾谷約( 。
A.164石B.178石C.189石D.196石

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13.已知f(x)=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,A為銳角且f(A)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$,AB=$\sqrt{3}$,AD=2,求sin∠BAD.

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3.取一段長(zhǎng)為5米的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于1米的概率是( 。
A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{1}{2}$

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10.過點(diǎn)(1,2)且與點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(4,-5)距離相等的直線l的方程是3x+2y-7=0或4x+y-6=0(請(qǐng)寫一般式).

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7.已知函數(shù)f(x)=x2+4x+3,
(1)若f(a+1)=0,求a的值;
(2)若g(x)=f(x)+cx為偶函數(shù),求c的值.

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8.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,有下列命題:
①若a>b>0,則a+$\frac{1}$>b+$\frac{1}{a}$;
②若ac2>bc2,則a>b;
③若a>b>0,則$\frac{a}$<$\frac{a+1}{b+1}$;
④若a>b,$\frac{1}{a}$>$\frac{1}$,則a>0,b<0.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。
A.1B.2C.3D.4

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同步練習(xí)冊(cè)答案