13.已知f(x)=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,A為銳角且f(A)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$,AB=$\sqrt{3}$,AD=2,求sin∠BAD.

分析 (1)結(jié)合三角恒等變換得到f(x)=sin(2x-$\frac{π}{3}$),由正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)來求其單調(diào)增區(qū)間.
(2)運(yùn)用向量等式得到D為三角形的重心,以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC,通過解三角形解答.

解答 解:(1)由題可知f(x)=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1+cosx)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin(2x-$\frac{π}{3}$),
令2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z.
則kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$,k∈Z.
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{5π}{12}$],k∈Z.
(2)由f(A)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以sin(2A-$\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
解得A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{π}{2}$(舍).
又∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$,
∴D為△ABC的重心,以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC,
∵AD=2,
∴AE=6,
在△ABE中,AB=$\sqrt{3}$,∠ABE=120°,
由正弦定理可得$\frac{\sqrt{3}}{sin∠AEB}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,
解得sin∠AEB=$\frac{1}{4}$且cos∠AEB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$.
因此sin∠BAD=sin∠($\frac{π}{3}$-∠AEB)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3\sqrt{5}-1}{8}$.

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡以及恒等變換公式的應(yīng)用,還有解三角形的內(nèi)容,如正弦定理等.

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C.①用系統(tǒng)抽樣法,②用分層抽樣法
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A.-14B.-9C.-5D.-1

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