8.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.則稱點(diǎn)對(duì)[P,Q]是函數(shù)y=f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)[P,Q]與[Q,P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”).已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x,x>0}\\{-{x}^{2}-4x,x≤0}\end{array}\right.$則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有2對(duì).

分析 根據(jù)題意:“友好點(diǎn)對(duì)”,可知,欲求f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”,只須作出函數(shù)y=-x2-4x(x≤0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,看它與函數(shù)f(x)=log2x(x>0)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

解答 解:根據(jù)題意:當(dāng)x>0時(shí),-x<0,
則f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,
可知,若函數(shù)為奇函數(shù),可有f(x)=x2-4x,
則函數(shù)y=-x2-4x(x≤0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=x2-4x
由題意知,作出函數(shù)y=x2-4x(x>0)的圖象,
看它與函數(shù)f(x)=log2x(x>0)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到友好點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù).如圖:
觀察圖象可得:它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是:2,即f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”有:2個(gè).
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性,以及數(shù)形結(jié)合的思想,解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解,合理地利用圖象法解決,屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.設(shè)x∈R,向量$\overrightarrow a=(2,x)$,$\overrightarrow b=(3,-2)$且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$,則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=( 。
A.5B.$\sqrt{26}$C.2$\sqrt{6}$D.6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.平面上的兩個(gè)向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$滿足|$\overrightarrow{OA}$|=a,|$\overrightarrow{OB}$|=b,且a2+b2=4,$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,若向量$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$(λ,μ∈R).且(λ-$\frac{1}{2}$)2a2+(μ-$\frac{1}{2}$)2b2=1,則|$\overrightarrow{OC}$|的最大值是2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.在下列四個(gè)命題中:
①y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù);
 ②函數(shù)y=tan(x+$\frac{π}{4}$)的定義域是$\{\left.x\right|x≠\frac{π}{4}+kπ,k∈Z\}$    
③若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$,則必有$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$;  
④函數(shù)y=cos2x+sinx的最小值為-1.
把正確的命題的序號(hào)都填在橫線上②④.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.在區(qū)間[0,1]上給定曲線y=x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值,使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小,并求最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.①在[0,4]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)a,b,則使函數(shù)f(x)=x2+ax+b2有零點(diǎn)的概率為$\frac{1}{4}$.
②在△ABC中,“$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$>0”是“△ABC為銳角三角形”的充要條件
③已知x>-1,y>0且滿足x+2y=1,則$\frac{1}{x+1}$+$\frac{2}{y}$的最小值為$\frac{9}{2}$
④已知點(diǎn)P為△ABC所在平面上的一點(diǎn),且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{AC}$,其中t為實(shí)數(shù),若點(diǎn)P落在△ABC的內(nèi)部,則t的取值范圍是0<t<$\frac{2}{3}$其中正確的有①③④.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.過點(diǎn)P(-1,2),傾斜角為135°的直線方程為( 。
A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.x-y-1=0D.x+y+1=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+t,x<0}\\{x+lnx,x>0}\end{array}\right.$,其中t是實(shí)數(shù).設(shè)A,B為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1<x2
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若x2<0,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A,B處的切線互相垂直,求x1-x2的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.如圖所示,已知S是邊長(zhǎng)為1的正三角形所在平面外一點(diǎn),且SA=SB=SC=1,M,N分別是AB,SC的中點(diǎn),求異面直線SM與BN所成角的余弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案