Question

8．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有2對(duì)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”，只須作出函數(shù)y=-x²-4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
則f（-x）=-（-x）²-4（-x）=-x²+4x，
可知，若函數(shù)為奇函數(shù)，可有f（x）=x²-4x，
則函數(shù)y=-x²-4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是y=x²-4x
由題意知，作出函數(shù)y=x²-4x（x＞0）的圖象，
看它與函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到友好點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)．如圖：
觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：2，即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有：2個(gè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解，合理地利用圖象法解決，屬于中檔題