【題目】已知拋物線的方程為,過(guò)點(diǎn)(為常數(shù))作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,.
(1)過(guò)焦點(diǎn)且在軸上截距為的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),,兩點(diǎn)在軸上的射影分別為,,且,求拋物線的方程;
(2)設(shè)直線,的斜率分別為,.求證:為定值.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)由拋物線方程可知其焦點(diǎn)坐標(biāo),則可得直線的方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)系式,再由,從而問(wèn)題可得解;(2)由題意,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義,通過(guò)兩切點(diǎn)計(jì)算兩條切線方程,從而得到兩切線斜率與拋物線參數(shù)的關(guān)系式,從而可證明,兩斜率的乘值為定值.
試題解析:(1)因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,
所以過(guò)焦點(diǎn)且在軸上截距為的直線方程是 ,即.
聯(lián)立消去并整理,得,
設(shè)點(diǎn),,
則,.
則
,
解得.
所以拋物線的方程為.
(2)設(shè)點(diǎn), .
依題意,由,得,
則.
所以切線的方程是,
即.
又點(diǎn)在直線上,
于是有,
即.
同理,有,
因此,,是方程的兩根,
則,.
所以,
故為定值得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域是且,,當(dāng)時(shí),.
(1)求證:是奇函數(shù);
(2)求在區(qū)間上的解析式;
(3)是否存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),不等式有解?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“大眾創(chuàng)業(yè),萬(wàn)眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國(guó)人民發(fā)出的口號(hào).某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召,大力研發(fā)新產(chǎn)品,為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo),得到一組銷(xiāo)售數(shù)據(jù),如表所示:
試銷(xiāo)單價(jià)(元) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
產(chǎn)品銷(xiāo)量(件) | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知,.
(Ⅰ)求出的值;
(Ⅱ)已知變量,具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷(xiāo)量(件)關(guān)于試銷(xiāo)單價(jià)(元)的線性回歸方程;
(Ⅲ)用表示用(Ⅱ)中所求的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷(xiāo)量的估計(jì)值.當(dāng)銷(xiāo)售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí),則將銷(xiāo)售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中任取2個(gè),求“好數(shù)據(jù)”至少有一個(gè)的概率.
(參考公式:線性回歸方程中,的最小二乘估計(jì)分別為,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果存在函數(shù)(為常數(shù)),使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意都有成立,那么稱為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”.給出如下四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)存在“線性覆蓋函數(shù)”;
②對(duì)于給定的函數(shù),其“線性覆蓋函數(shù)”可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè);
③為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”;
④若為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”,則
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,.
(1)若,,且對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,,且在單調(diào)遞增,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)解方程.
(2)令,求的值.
(3)若是定義在上的奇函數(shù),且對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在圓外,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,設(shè)切點(diǎn)為.
(1)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處,求此時(shí)切線的方程;
(2)求滿足的點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線的斜率為,直線與橢圓C交于兩點(diǎn).點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓:與直線:,動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn).
(1)若直線與圓相切,求直線的方程;
(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn),點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn)N.探索是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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