Question

在正四棱錐S—ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持PE⊥AC.

（1）指出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（即說明動(dòng)點(diǎn)P在滿足給定的條件下運(yùn)動(dòng)時(shí)所形成的圖形），證明你的結(jié)論;

（2）以軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三棱錐P－CDE的最大體積是正四棱錐S—ABCD體積的幾分之幾？

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在G點(diǎn)的位置時(shí)三棱錐P－CDE的體積取最大值V₁，二面角G—DE—C的大小為α，二面角G—CE—D的大小為β，求tanα∶tanβ的值；

（4）若將“E是BC的中點(diǎn)”改為“E是BC上異于B、C的一定點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)指出點(diǎn)P的軌跡，證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（1）如圖，分別取CD、SC的中點(diǎn)F、G，連結(jié)EF、EG、FG、BD.設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連結(jié)SO，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是△SCD的中位線FG.

由正四棱錐可得SB⊥AC,EF⊥AC.又∵EG∥SB,∴EG⊥AC,

∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG,E∈平面EFG，

∴AC⊥PE.

（2）由于S_△CDE是定值，所以當(dāng)P到平面CDE的距離最大時(shí)，V _P—CDE最大，易知當(dāng)P與G重合時(shí)，P到平面CDE的距離最大，

故(V_P—CDE) _max=V_G—CDE,又S_△CDE=S_{正方形ABCD}，

G到平面ABCD的距離是點(diǎn)S到平面ABCD的距離的，

∴(V_P—CDE) _max=V_G—CDE=V_S—ABCD.

（3）令A(yù)B=a,EF與AC交于N點(diǎn)，連結(jié)GN，則GN⊥平面ABCD.因此二面角G—DE—C和二面角G—CE—D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距離的倒數(shù)比.

∵N是OC的中點(diǎn)，∴N到BC的距離為a.

連結(jié)DE交OC于M，則M是△DBC的重心，∴MN=.

又ME=a，NE=,

在Rt△MNE中，容易求得N到DE的距離為.

故tanα∶tanβ=∶1.

（4）動(dòng)點(diǎn)P在側(cè)面SCD內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且總保持PE⊥AC，那么這些相交于定點(diǎn)E的直線系應(yīng)位于某個(gè)與直線AC垂直的平面內(nèi)，而由正四棱錐的性質(zhì)可知，AC⊥平面SBD，因此動(dòng)直線PE集中在過E且平行于平面SBD的一個(gè)平面內(nèi).過E作EG′∥SB，EF′∥BD，分別交SC于G′，交CD于F′，則平面EF′G′∥平面SBD，從而AC⊥平面EF′G′，故點(diǎn)P的軌跡是線段F′G′.