Question

己知數(shù)列{A_n}中，A₁>－1,對(duì)任意自然數(shù)n，都有A_n+1=.

(1)   設(shè)A₁=1,求A₂,A₃,A₄;

(2)   試比較A_n與的大小，并證明你的結(jié)論；

(3)   當(dāng)A₁≠時(shí)，證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，或者都滿足A_2n－1<A_2n+1;或者都滿足A_2n－1<A_2n+1。

Answer 1

答案：
解析：

（1）依A1=1,可以依次推得： A2=,A3=,A4=. (2)依A1>－1及An+1==1+, 可以推得An>－1. 研究An+1－=－ ==(An－1－).　　 (*) 注意到：>0 ①當(dāng)A1=時(shí)，假設(shè)n=k時(shí)，Ak=,則依（*）推出Ak+1=. 因此對(duì)于任意自然數(shù)n，An=. ②當(dāng)－1<A1<時(shí)，由A2－=>0,推出A2>,A3<.假設(shè)n=k時(shí)，若－1<Ak<,則依（*） 推出Ak+2<. 因此，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)An<;當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，An>. ③當(dāng)A1>時(shí)，同理可證 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，An>;當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，An<. (3)研究A2n+1－A2n－1=(1+)－A2n－1 =1+－A2n－1 =.　　    　　　　　　 (* *) ①    當(dāng)－1<A1<時(shí)，依（2）中可知，－1<A2n－1<,故2－A2n－12>0且2A2n－1+3>0.則由（*  *）得，對(duì)任意自然數(shù)n，有A2n+1>A2n－1. ②    當(dāng)A1>時(shí)，依（2）中可知，A2n－1>,故2－A2n－12<0. 因此，對(duì)任意自然數(shù)n，有A2n+1<A2n－1.