己知數(shù)列{An}中，A1>－1,對任意自然數(shù)n，都有An+1=.

(1)   設(shè)A1=1,求A2,A3,A4;

(2)   試比較An與的大小，并證明你的結(jié)論；

(3)   當A1≠時，證明：對于任意自然數(shù)n，或者都滿足A2n－1<A2n+1;或者都滿足A2n－1<A2n+1。

答案：
解析：

（1）依A1=1,可以依次推得：

A2=,A3=,A4=.

(2)依A1>－1及An+1==1+,

可以推得An>－1.

研究An+1－=－

==(An－1－).     (*)

注意到：>0

①當A1=時，假設(shè)n=k時，Ak=,則依（*）推出Ak+1=.

因此對于任意自然數(shù)n，An=.

②當－1<A1<時，由A2－=>0,推出A2>,A3<.假設(shè)n=k時，若－1<Ak<,則依（*） 推出<i style='mso-bidi-font-style:normal'>Ak+2<.

因此，當n是奇數(shù)時An<;當n是偶數(shù)時，An>.

③當A1>時，同理可證

當n是奇數(shù)時，An>;當n是偶數(shù)時，An<.

(3)研究A2n+1－A2n－1=(1+)－A2n－1

=1+－A2n－1

=.                     (* *)

①    當－1<A1<時，依（2）中可知，－1<A2n－1<,故2－A2n－12>0且2A2n－1+3>0.則由（*  *）得，對任意自然數(shù)n，有A2n+1>A2n－1.

②    當A1>時，依（2）中可知，A2n－1>,故2－A2n－12<0.

因此，對任意自然數(shù)n，有A2n+1<A2n－1.


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己知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=
1
2
an+n，n為奇數(shù)
an-2n，n為偶數(shù)

（1）求a2，a3；
（2）設(shè)bn=a2n-2，n∈N*，求證{bn} 是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3）在（2）條件下，求數(shù)列{an} 前100項中的所有偶數(shù)項的和S．

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