Question

17．?dāng)?shù)列{2ⁿ-1}的前n項1，3，7，…，2ⁿ-1組成集合${A_n}=\left\{{1，3，7，{2^n}-1}\right\}$（n∈N^*），從集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）個數(shù)，其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為T_k（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記S_n=T₁+T₂+…+T_n，例如當(dāng)n=1時，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；當(dāng)n=2時，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7，試寫出S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．

Answer 1

分析 通過計算出S₃，并找出S₁、S₂、S₃的共同表示形式，進(jìn)而利用歸納推理即可猜想結(jié)論．

解答 解：當(dāng)n=3時，A₃={1，3，7}，
則T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
∴S₃=T₁+T₂+T₃=11+31+21=63，
由S₁=1=2¹-1=${2}^{\frac{1×2}{2}}$-1，
S₂=7=2³-1=${2}^{\frac{2×3}{2}}$-1，
S₃=63=2⁶-1=${2}^{\frac{3×4}{2}}$-1，
…
猜想：S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1，
故答案為：${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查歸納推理，注意解題方法的積累，屬于中檔題．