Question

19．已知$f（x）=\frac{{{e^{ax}}}}{x}$（其中e=2.718…）．
（1）若f（x）在（0，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{1}{x}$在（0，4]恒成立，求出a的范圍即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$，
若f（x）在（0，4]上是減函數(shù)，
只需ax-1≤0在（0，4]恒成立，
即a≤$\frac{1}{x}$在（0，4]恒成立，
∴a≤$\frac{1}{4}$；
（2）a=1時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，0），（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
①0＜m＜1時(shí)，2＜m+2＜3，
∴f（x）在[m，1）遞減，在（1，+m+2]遞增，
∴f（x）_min=f（1）=e；
②m≥1時(shí)，f（x）在[m，m+2]遞增，
∴f（x）_min=f（m）=$\frac{{e}^{m}}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．