Question

13．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若{x|f（x）＜0}⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）討論a的取值范圍，求出不等式f（x）＜0的解集，結(jié)合集合的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
當(dāng)a＜0時(shí)，則f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減；
若a＞0時(shí)：令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增．
（2）若a＜0，則函數(shù)在（0，+∞）遞減，且當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，則不滿足條件{x|f（x）＜0}⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），
若a＞0，在f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增．
則當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值，此時(shí)f（$\frac{1}{a}$）=aln$\frac{1}{a}$+a=-alna+a=-a（lna-1）=a（1-lna），
①若f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna）＞0，即0＜a＜e時(shí)，{x|f（x）＜0}=∅⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），滿足條件，
②若f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna）=0，即a=e時(shí)，{x|f（x）＜0}={$\frac{1}{e}$}⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），滿足條件，
③若f（$\frac{1}{a}$）=a（1-lna）＜0，即a＞e時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$＜1，
∵f（1）=1＞0，∴f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增．
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＞0，
∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴{x|f（x）≤0}⊆（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$），成立，
綜上a＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．