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10.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足((2b-c)cosA=acosc
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若a=3,△ABC的面積是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$,求△ABC的周長.

分析 (Ⅰ)利用正弦定理化簡結合和與差的公式(2b-c)cosA=acosc,可得角A的大小.
(Ⅱ)根據a=3,△ABC的面積是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$,利用余弦定理求出b+c的值可得△ABC的周長.

解答 解:(Ⅰ)∵(2b-c)cosA=acosc,
由正弦定理,可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC.
得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC.
即2sinBcosA=sinB.
∵0<B<π,sinB≠0.
∴cosA=$\frac{1}{2}$.
∵0<A<π,
∴A=$\frac{π}{3}$;
(Ⅱ)∵△ABC的面積是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$,a=3.
可得:$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$,
得:bc=9.
由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,
得:9=(b+c)2-2bc-2bccosA,
∴(b+c)2=36
即:b+c=6
故得:△ABC的周長l=a+b+c=6+3=9.

點評 本題考查△ABC的面積公式的運用以及正余弦定理的合理運用,考查了計算能力.屬于基礎題.

練習冊系列答案
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