【題目】已知橢圓的離心率為,其上焦點到直線的距離為.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點的直線交橢圓,兩點.試探究以線段為直徑的圓是否過定點?若過,求出定點坐標(biāo),若不過,請說明理由.

【答案】(1)(2)詳見解析

【解析】

(1)由橢圓離心率結(jié)合得到a,b,c之間的關(guān)系,計算焦點到直線的距離得到a,b的值,從而得到橢圓方程;(2)當(dāng)直線l斜率不存在時,得到為直徑的圓的方程,當(dāng)直線l斜率為0時,得到為直徑的圓的方程,從而得到兩圓的交點Q,然后只需證明當(dāng)直線的斜率存在且不為0時為直徑的圓恒過點Q即可.

解:(1) 由題意,,,所以,.

,,所以,,故橢圓的方程為

(2)當(dāng)軸時,以為直徑的圓的方程為

當(dāng)軸時,以為直徑的圓的方程為.

可得兩圓交點為

由此可知,若以為直徑的圓恒過定點,則該定點必為

下證符合題意.

設(shè)直線的斜率存在,且不為0,則方程為,代入

并整理得, 設(shè),

,

所以

,即在以為直徑的圓上.

綜上,以為直徑的圓恒過定點

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分?jǐn)?shù)分組

文科頻數(shù)

12

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10

11

23

理科頻數(shù)

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