Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其上焦點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).試探究以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由橢圓離心率結(jié)合得到a,b,c之間的關(guān)系，計(jì)算焦點(diǎn)到直線的距離得到a,b的值，從而得到橢圓方程;（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，得到為直徑的圓的方程，當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，得到為直徑的圓的方程，從而得到兩圓的交點(diǎn)Q，然后只需證明當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q即可.

解：（1） 由題意，，，所以，.

又，，所以，，故橢圓的方程為

（2）當(dāng)軸時(shí)，以為直徑的圓的方程為

當(dāng)軸時(shí)，以為直徑的圓的方程為.

可得兩圓交點(diǎn)為．

由此可知，若以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必為．

下證符合題意．

設(shè)直線的斜率存在，且不為0，則方程為，代入

并整理得， 設(shè)，，

則， ，

所以

故，即在以為直徑的圓上．

綜上，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．