已知a＞0，函數(shù)f（x）=
ex
a
+
a
ex
在R上滿足f（-x）=f（x），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)　
（1）求實(shí)數(shù)a的值  
（2）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得：f（-1）=f（1），代入解析式化簡求出a的值；
（2）由（1）求出f（x），再由單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，即取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論．
解答：解：（1）∵f（-x）=f（x），∴f（-1）=f（1）
即
e-1
a
+
a
e-1
=
e
a
+
a
e
，
1
ea
+ae=
e
a
+
a
e

即(
1
e
-e)
1
a
=a(
1
e
-e)，
∴
1
a
=a(a＞0)，解得a=1------（4分）
（2）由（1）得，f（x）=ex+e-x
設(shè)（0，+∞）上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，且x1＜x2------（1分）
則f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-(ex2+e-x2)=ex1-ex2+
ex2-ex1
ex1ex2
=(ex1-ex2)(1-
1
ex1+x2
)
=
(ex1-ex2)(ex1+x2-1)
ex1+x2
------（4分）
∵0＜x1＜x2且y=ex在R為增函數(shù)，
∴ex1＜ex2，x1+x2＞0∴ex1-ex2＜0；ex1+x2＞e0=1------（2分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．------（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，以及單調(diào)性的定義進(jìn)行證明的步驟，即取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，關(guān)鍵是變形一定要徹底，化為因式相乘除的形式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是（　�。�
A、?x∈R，f（x）≤f（x0）B、?x∈R，f（x）≥f（x0）C、?x∈R，f（x）≤f（x0）D、?x∈R，f（x）≥f（x0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax2，x＞0．（f（x）的圖象連續(xù)不斷）
（Ⅰ）當(dāng)a=
1
8
時(shí)
①求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②證明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（
3
2
）；
（Ⅱ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f(x)=
|x-2a|
x+2a
在區(qū)間[1，4]上的最大值等于
1
2
，則a的值為
 
．

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