Question

2．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x+a的最大值為1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）=m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得m的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x+a=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x+a
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a 的最大值為2+a=1，
∴a=-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]-1
=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1的圖象，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴當2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{3}$時，g（x）取得最大值為$\sqrt{3}$-1；
當2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{3π}{2}$時，g（x）取得最小值-3，
故-3≤m≤$\sqrt{3}$-1．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的增區(qū)間，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．