9.已知函數(shù)$f(x)=x(\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2})$.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)求證:當(dāng)x≠0時(shí),f(x)>0.

分析 (1)求出函數(shù)的定義域,利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可.
(2)討論x大于0時(shí),函數(shù)的表達(dá)式的值域范圍,然后利用函數(shù)的奇偶性推出結(jié)果即可.

解答 解:(1)由2x-1≠0,得x≠0
∴f(x)的定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞),它關(guān)于原點(diǎn)對稱
∴$f(-x)=-x(\frac{1}{{{2^{-x}}-1}}+\frac{1}{2})=-x(\frac{1}{{\frac{1}{2^x}-1}}+\frac{1}{2})=-x(\frac{2^x}{{1-{2^x}}}+\frac{1}{2})$=$-x(\frac{{{2^x}-1+1}}{{1-{2^x}}}+\frac{1}{2})=-x(\frac{1}{{1-{2^x}}}-\frac{1}{2})=x(\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2})=f(x)$
∴f(x)為偶函數(shù).
(2)證明:當(dāng)x>0時(shí),∴2x>1,∴2x-1>0
∴$\frac{1}{{{2^x}-1}}>0$,∴$\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}$
∴$f(x)=x(\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2})>0$
又∵f(x)為偶函數(shù),
∴當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0
綜上可得:當(dāng)x≠0時(shí),f(x)>0.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用奇偶性的判斷,考查分析問題解決問題的能力.

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