Question

19．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中中，E，F，G，H，M，N分別是正方體六個面的中心，求證：平面EFG∥平面HMN．

Answer 1

分析 以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，得到$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{HM}$，$\overrightarrow{FG}$∥$\overrightarrow{NH}$，從而證出結論．

解答 證明：以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，
如圖示：

不妨設正方體的棱長為2，
則E（1，1，0），F（1，0，1），G（2，1，1），
H（1，2，1），M（1，1，2），N（0，1，1）．
所以$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
$\overrightarrow{FG}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{HM}$=（0，-1，1），
$\overrightarrow{NH}$=（1，1，0），
所以$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{HM}$，$\overrightarrow{FG}$∥$\overrightarrow{NH}$
∴EF∥HM，FG∥NH．
因為HM⊆平面HMN，NH⊆平面HMN，
所以EF∥平面HMN，FG∥平面HMN．
因為EF⊆平面EFG，FG⊆平面EFG，
EF∩FG=F，
所以平面EFG∥平面HMN．

點評 本題考查了面面平行問題，考查向量的應用，是一道中檔題．