Question

8．已知△ABC中，BC長(zhǎng)為6，周長(zhǎng)為16，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范圍是[7，16）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，得出$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=10，兩式平方相減，得出|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=32；再利用基本不等式和向量模長(zhǎng)的意義得出|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|的取值范圍，即可求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范圍．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴${\overrightarrow{BC}}^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}$-2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
即|${\overrightarrow{AC}}^{2}$|-2|$\overrightarrow{AC}$|×|$\overrightarrow{AB}$|cosA+|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|=36①；
又∵|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=10，
∴|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|+2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|+|${\overrightarrow{AC}}^{2}$|=100②；
①-②得，2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|（1+cosA）=64，
即|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=32③；
由|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|+|${\overrightarrow{AC}}^{2}$|≥2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|，當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|時(shí)“=”成立，
∴4|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|≤100，
∴|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|≤25，
又|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|，
∴|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|＞16（$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$不共線(xiàn)，不取“=”），
∴7≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＜16；
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范圍是[7，16）．
故答案為：[7，16）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題目．