Question

16．已知是一幾何體的直觀圖和三視圖如圖．
（1）若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF⊥面PCD；
（2）求此幾何體BEC-APD的體積．

Answer 1

分析 （1）證明PD⊥AF，CD⊥DA，CD⊥PA，即可證明CD⊥面ADP，推出CD⊥AF．證明AF⊥面PCD．  
（2）幾何體的體積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三棱錐的體積，求解即可．

解答 解：（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA⊥面ABCD，
∵PA=AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，∴PD⊥AF，又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，
∴CD⊥面ADP，∴CD⊥AF．又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD．  
   
（2）易知PA⊥面ABCD，CB⊥面ABEP，故此幾何體的體積為$V={V_{P-ACD}}+{V_{C-ABEP}}=\frac{1}{3}{S_{ACD}}×AP+\frac{1}{3}{S_{ABEP}}×CB$=$\frac{1}{3}×8×4+\frac{1}{3}×12×4=\frac{80}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直以及平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．