Question

【題目】如圖， 中， 是的中點(diǎn)， ，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時，試問在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在.

【解析】試題分析：（1）在中， 是的中點(diǎn)， ，所以，由折疊知，故可以證明面；（2）當(dāng)面面時，三棱錐的體積最大，∵面面， ，∴面，連結(jié)，在直角三角形中，由，可以求出或者的值，即可判斷是否存在點(diǎn)。

試題解析：（1）∵且是的中點(diǎn)，∴，由折疊知，又∵，∴面；

（2）不存在，證明如下：

當(dāng)面面時，三棱錐的體積最大，∵面面， ，∴面，

法1：連結(jié)，∵，∴面，∴即為與平面所成的角，在直角三角形中， ，∴，而中， ， ，設(shè)到直線的距離為，則由，得，∵，∴滿足條件的點(diǎn)不存在；

法2：在直角三角形中， ， ，∴，易求得到直線的距離為，∴滿足條件的點(diǎn)不存在.

法3：已證得兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，又∵平面的法向量，依題意得， ，得，化簡得， ，此方程無解，∴滿足條件的點(diǎn)不存在.