Question

16．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其面積為S，且2$\sqrt{3}$S=a²-（b-c）²
（1）求tanA；
（2）若a=1，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知式子結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系可解得cosA，進(jìn)而可得sinA和tanA；
（2）由（1）和二倍角公式可得cos$\frac{A}{2}$，由正弦定理以及和差化積公式可得△ABC周長(zhǎng)=1+$\frac{7sinB}{4\sqrt{3}}$+$\frac{7sinC}{4\sqrt{3}}$=1+$\frac{\sqrt{21}}{3}$cos$\frac{B-C}{2}$，由三角函數(shù)值域可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中2$\sqrt{3}$S=a²-（b-c）²，
∴2$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$bcsinA=a²-b²-c²+2bc=-2bccosA+2bc
∴$\sqrt{3}$sinA=-2cosA+2，即sinA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$（1-cosA）
由sin²A+cos²A=1可得$\frac{4}{3}$（1-cosA）²+cos²A=1，
整理可得7cos²A-8cosA+1=0即（cosA-1）（7cosA-1）=0，
解得cosA=$\frac{1}{7}$，或cosA=1（此時(shí)A=0，不合題意，舍去）
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=4$\sqrt{3}$；
（2）由（1）可得sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cosA=$\frac{1}{7}$，
∴2cos²$\frac{A}{2}$-1=$\frac{1}{7}$，解方程舍去負(fù)值可得cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
結(jié)合a=1和正弦定理可得b=$\frac{7sinB}{4\sqrt{3}}$，c=$\frac{7sinC}{4\sqrt{3}}$，
∴△ABC周長(zhǎng)=1+$\frac{7sinB}{4\sqrt{3}}$+$\frac{7sinC}{4\sqrt{3}}$=1+$\frac{7}{4\sqrt{3}}$（sinB+sinC）
=1+$\frac{7}{4\sqrt{3}}$•2sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$=1+$\frac{7}{4\sqrt{3}}$•2cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$
=1+$\frac{\sqrt{21}}{3}$cos$\frac{B-C}{2}$≤1+$\frac{\sqrt{21}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)B=C時(shí)取等號(hào)．
故△ABC周長(zhǎng)的最大值為1+$\frac{\sqrt{21}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式以及和差化積公式，屬中檔題．