Question

7．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（2）=1，且對(duì)于任意的x∈R，都有f′（x）＜$\frac{1}{3}$，則不等式f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{3}$的解集為{x丨0＜x＜4}．

Answer 1

分析 構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，由題意可知F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x在R單調(diào)遞減，原不等式轉(zhuǎn)化成F（log₂x）＞F（2），（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式的解集．

解答 解：設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，求導(dǎo)F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{3}$＜0，則F（x）在R單調(diào)遞減，
由f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{3}$，即f（log₂x）-$\frac{1}{3}$•log₂x＞$\frac{1}{3}$，
由f（2）-$\frac{1}{3}$×2=$\frac{1}{3}$，
∴F（log₂x）＞F（2），（x＞0），
則log₂x＜2，解得：0＜x＜4，
∴不等式的解集為：{x丨0＜x＜4}，
故答案為：：{x丨0＜x＜4}．
故答案為：{x丨0＜x＜4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．