Question

15．在等差數列{a_n}中，首項a₁=1，數列{b_n}滿足b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，且b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，且b₁b₂b₃=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}=（\frac{1}{2}）^{3{a}_{1}+3d}$=$\frac{1}{64}$，可求得公差，即可求出a_n；
（2）由（1）得b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，a_nb_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，∴數列{a_nb_n}的前n項和S_n可用錯位相減法求得．

解答 解：（1）設等差數列數列{a_n}的公差為d，
∵a₁=1，b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，且b₁b₂b₃=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}=（\frac{1}{2}）^{3{a}_{1}+3d}$=$\frac{1}{64}$，3a₁+3d=6∴d=1
a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）得b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，a_nb_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數列{a_nb_n}的前n項和S_n
S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{s}_{n}=\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\$   $\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}+\frac{n}{{2}^{n+1}}$
∴$\frac{1}{2}$s_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
∴${s}_{n}=2-\frac{2}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數列的計算，及錯位相減法求和，屬于中檔題．