分析 (Ⅰ)根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出f′(x),由條件列出方程組求出a、b的值,代入后求出f(x);
(Ⅱ)由(1)求出g(x)并化簡,根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出g′(x),求出g′(x)=0的根后,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出g(x)的單調(diào)區(qū)間,由極值的定義求出函數(shù)g(x)的極值.
解答 解:(Ⅰ)由題意得,f′(x)=3x2+2ax+b,
∵f'(1)=2a,f'(2)=-b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=2a}\\{12+4a+b=-b}\end{array}\right.$,解得a=$-\frac{3}{2}$,b=-3,
則f(x)=x3$-\frac{3}{2}$x2+3x+1;
(Ⅱ)由(1)得,f′(x)=3x2-3x-3,
∴g(x)=f'(x)e-x=3(x2-x-1)e-x=$3•\frac{{x}^{2}-x-1}{{e}^{x}}$,
∴g′(x)=$3•\frac{{(x}^{2}-x-1)′{e}^{x}-({x}^{2}-x-1)({e}^{x})′}{{(e}^{x})^{2}}$=$3•\frac{-{x}^{2}+3x}{{e}^{x}}$,
由g′(x)=0得x=0或x=3,
∴當(dāng)0<x<3時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x<0或x>3時(shí)g′(x)<0,
∴g(x)在(0,3)上遞增,在(-∞,0)和(3,+∞)上遞減,
即當(dāng)x=0時(shí),g(x)取到極小值g(0)=-3,
當(dāng)x=3時(shí),g(x)取到極大值g(3)=$\frac{15}{{e}^{3}}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了求導(dǎo)公式和法則,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系,考查了方程思想,化簡、變形能力.
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A. | $\frac{17}{2}$ | B. | 9 | C. | $\frac{29}{3}$ | D. | 10 |
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A. | 8 | B. | 10 | C. | -8 | D. | -10 |
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