Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，（1-a_n+1）（1+a_n）=1（n∈N⁺），則$\sum_{k=1}^{100}{（{{a_k}{a_{k+1}}}）}$的值為$\frac{100}{101}$．

Answer 1

分析 a₁=1，（1-a_n+1）（1+a_n）=1（n∈N⁺），化簡(jiǎn)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵a₁=1，（1-a_n+1）（1+a_n）=1（n∈N⁺），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\sum_{k=1}^{100}{（{{a_k}{a_{k+1}}}）}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$
=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故答案為：$\frac{100}{101}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．