Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在非零常數(shù)T，對于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），則稱函數(shù)y=f（x）是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f（x）的“似周期”．現(xiàn)有下面四個關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：
①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”；
③函數(shù)f（x）=2^-x是“似周期函數(shù)”；
④如果函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命題的序號是

 

．（寫出所有滿足條件的命題序號）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，首先理解似周期函數(shù)的定義，從而解得．

解答： 解：①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為-1，
則f（x-1）=-f（x），即
f（x-1）=-f（x）=-（-f（x+1））=f（x+1）；
故它是周期為2的周期函數(shù)；故正確；
②若函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”，
則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T•f（x），
即x+T=Tx；故（1-T）x+T=0恒成立；
故不存在T．故假設(shè)不成立，故不正確；
③若函數(shù)f（x）=2^-x是“似周期函數(shù)”，
則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T•f（x），
即2^-x-T=T•2^-x，
即（T-2^-T）•2^-x=0；
而令y=x-2^-x，作圖象如下，
 
故存在T＞0，使T-2^-T=0；故正確；
④若函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，
則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T•f（x），
即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；
故T=1或T=-1；
故“ω=kπ，k∈Z”．故正確；
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用能力，屬于中檔題．