Question

11．在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，PA=$\sqrt{6}$，AC∩BD=O
（Ⅰ）設(shè)平面ABP∩平面DCP=l，證明：l∥AB
（Ⅱ）若E是PA的中點(diǎn)，求三棱錐P-BCE 的體積V_P-BCE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥DC，知AB∥平面PDC，由此能證明l∥AB．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥PO，從而BO是三棱錐B-PCE的高，由V_P-BCE=V_B-PCE，能求出三棱錐P-BCE 的體積．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）因?yàn)锳B∥DC，AB?平面PDC，DC?平面PDC，
所以AB∥平面PDC．（2分）
又平面ABP∩平面DCP=l，且AB?面ABP，
所以l∥AB．（4分）
解：（Ⅱ）因?yàn)榈酌媸橇庑�，所以BD⊥AC．（5分）
因?yàn)镻B=PD，且O是BD中點(diǎn)，所以BD⊥PO．（6分）
又PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．
所以BO是三棱錐B-PCE的高．（7分）
因?yàn)锳O為邊長為2的等邊△ABD的中線，所以AO=$\sqrt{3}$．
因?yàn)镻O為邊長為2的等邊△PBD的中線，所以PO=$\sqrt{3}$．
在△POA中，PA=$\sqrt{6}$，AO=$\sqrt{3}$，PO=$\sqrt{3}$，
所以AO²+PO²=PA²，所以PO⊥AO．（8分）
所以${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}AC•PO=3$，（9分）
因?yàn)镋是線段PA的中點(diǎn)，所以${S}_{△PCE}=\frac{1}{2}{S}_{△PAC}=\frac{3}{2}$．（10分）
所以三棱錐P-BCE 的體積：
V_P-BCE=V_B-PCE=$\frac{1}{3}×{S}_{△PCE}×BO$=$\frac{1}{2}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．