Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點M(

π

6

，

3

2

)．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的平移可使其對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的最大值為1，得到A的值為1，將A的值代入函數(shù)解析式，又圖象經(jīng)過M點，把M的坐標代入函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于φ的方程，求出方程的解即可得到φ的值；
（Ⅱ）把第一問求出的A和φ的值代入確定出函數(shù)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）把第一問求出的函數(shù)解析式變形，再根據(jù)平移規(guī)律：左加右減，可得第一問確定出的函數(shù)的圖象向右平移

π

6

個單位，得到y(tǒng)=sin2x，且函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題意．

解答：解：（Ⅰ）依題意得：A=1，由其圖象經(jīng)過點M(

π

6

，

3

2

)，
∴sin(

π

3

+φ)=

3

2

，（1分）
∴

π

3

+φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，或

π

3

+φ=2kπ+

2π

3

，k∈Z，（3分）
∵0＜φ＜π，
∴由φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，得φ=

π

3

；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(2x+

π

3

)，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間滿足2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z（6分）
∴f（x）的增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(2x+

π

3

)=sin2(x+

π

6

)，
∴可將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，得到y(tǒng)=sin2x，且該函數(shù)為奇函數(shù)．（12分）

點評：此題考查了y=Asin（ωx+φ）解析式的確定及圖象的平移變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中確定出已知三角函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．