Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且${S_n}=2{n^2}+n$，n∈N^*，在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=2b_n+3，n∈N^*．
（1）求證：{b_n+3}是等比數(shù)列；
（2）若c_n=log₂（b_n+3），求數(shù)列$\{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}\}$的前n項和R_n；
（3）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義即可得出．
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、裂項求和方法即可得出．
（3）n=1時，a₁=S₁=3，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，綜上 a_n=4n-1，可得：${a_n}{b_n}=（4n-1）•（{2^{n+1}}-3）=（4n-1）•{2^{n+1}}-3（4n-1）$，再利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（1）證明：∵$\frac{{{b_{n+1}}+3}}{{{b_n}+3}}=\frac{{2{b_n}+3+3}}{{{b_n}+3}}=2$且b₁+3=4，
∴{b_n+3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列
（2）由（1）知 ${b_n}+3=4×{2^{n-1}}={2^{n+1}}$
所以 ${b_n}={2^{n+1}}-3$
則c_n=log₂（b_n+3）=n+1，
$\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
${R_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
（3）n=1時，a₁=S₁=3，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1
綜上 a_n=4n-1，
${a_n}{b_n}=（4n-1）•（{2^{n+1}}-3）=（4n-1）•{2^{n+1}}-3（4n-1）$，
設(shè)數(shù)列{（4n-1）•2ⁿ⁺¹}的前n項和為A_n．
則A_n=3•2²+7•2³+11•2⁴+…+（4n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴2A_n=3•2³+7•2⁴+…+（4n-5）•2ⁿ⁺¹+（4n-1）•2ⁿ⁺²，
∴-A_n=12+4×（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（4n-1）•2ⁿ⁺²=$4×\frac{4×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4-（4n-1）•2ⁿ⁺²，
∴A_n=（4n-5）•2ⁿ⁺²-20．
數(shù)列{3（4n-1）}的前n項和為：3×$\frac{n（3+4n-1）}{2}$=6n²+3n．
∴${T_n}=（4n-5）•{2^{n+2}}+20-6{n^2}-3n$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、裂項求和方法、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．