Question

【題目】某工廠生產(chǎn)了一批高精尖的儀器，為確保儀器的可靠性，工廠安排了一批專家檢測儀器的可靠性，毎臺儀器被毎位專家評議為“可靠”的概率均為，且每臺儀器是否可靠相互獨(dú)立．

（1）當(dāng)，現(xiàn)抽取4臺儀器，安排一位專家進(jìn)行檢測，記檢測結(jié)果可靠的儀器臺數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）為進(jìn)一步提高出廠儀器的可靠性，工廠決定每臺儀器都由三位專家進(jìn)行檢測，只有三位專家都檢驗(yàn)儀器可靠，則儀器通過檢測．若三位專家檢測結(jié)果都為不可靠，則儀器報廢．其余情況，儀器需要回廠返修．?dāng)M定每臺儀器檢測費(fèi)用為100元，若回廠返修，每臺儀器還需要額外花費(fèi)300元的維修費(fèi)．現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢儀器為100臺，工廠預(yù)算3.3萬元用于檢測和維修，問費(fèi)用是否有可能會超過預(yù)算？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望；（2）不會超過預(yù)算，理由詳見解析．

【解析】

（1）該事件滿足二項(xiàng)分布，由其概率計算公式分別計算隨機(jī)變量為，，，，4的概率，即可列出分布列，再由np計算均值；

（2）設(shè)每臺儀器所需費(fèi)為X元，則X的可能取值為100，400，為100時，即都通過或都不通過，即可計算，再由對立事件概率計算方式求得，即可表示一臺儀器花費(fèi)的數(shù)學(xué)期望函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值，即可判定.

（1）題意知的所有可能取值為，，，，4，

且服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，

所以

，

，

，

，

．

故 的分布列為 ：

X	0	1	2	3	4
P

從而．

（2）設(shè)每臺儀器所需費(fèi)為X元，則X的可能取值為100，400．

，．

所以=，

化簡得，

令，

，解得，

當(dāng)，，在單調(diào)遞增，

當(dāng)，，在單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，的最大值為．

實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為元33000元，不會超過預(yù)算．