Question

若函數(shù)f（x）=

1

2

x²-2ln（x+1）在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k，k+

1

2

）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，+∞）
• B、[0，

  1

  2

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、[0，1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k，k+

1

2

）上不是單調(diào)函數(shù)的意思是：一、區(qū)間（k，k+

1

2

）是函數(shù)定義域的子集，二、區(qū)間（k，k+

1

2

）的端點(diǎn)應(yīng)該落在函數(shù)f（x）的兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間內(nèi)．列出滿足的不等式組，從而解出k的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′(x)=x-

2

x+1

=

(x-1)(x+2)

x+1

，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+

1

2

）上不是單調(diào)函數(shù)，∴

-1＜k＜1 k+ 1 2 ＞1

解得

1

2

＜k＜1．
故選擇：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．