Question

14．已知拋物線D的頂點(diǎn)是雙曲線C：x²-$\frac{y^2}{15}$=1的中心，焦點(diǎn)與該雙曲線的右頂點(diǎn)重合．
（1）求拋物線D的方程；
（2）過雙曲線C的右焦點(diǎn)A的直線l交拋物線D于M，N兩點(diǎn)．若直線l的斜率為1，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的右頂點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)論．
（2）求出直線的方程，結(jié)合拋物線的定義，利用直線和拋物線相交的弦長公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由雙曲線的方程得a=1，即雙曲線的右頂點(diǎn)為（1，0），
則拋物線的焦點(diǎn)為（1，0），即拋物線的方程為y²=4x．
（2）∵a=1，b²=15，∴c²=1+15=16，即c=4，
則雙曲線的右焦點(diǎn)A（4，0），
∵直線l的斜率為1，
∴直線的方程為y=x-4，代入y²=4x得（x-4）²=x-4，
即x²-9x+20=0，
則x₁+x₂=9，
則MN=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2=9+2=11．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線方程的求解以及直線和拋物線相交時(shí)的弦長公式，利用拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵．