Question

4．設(shè)a，b，c是正實數(shù)，且滿足abc=1，證明：（a-1+$\frac{1}$）（b-1+$\frac{1}{c}$）（c-1+$\frac{1}{a}$）≤1．

Answer 1

分析 令a=$\frac{x}{y}$，b=$\frac{y}{z}$，c=$\frac{z}{x}$，x、y、z∈R⁺，原不等式等價于（x+y-z）（x-y+z）（-x+y+z）≤xyz，再換元，利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：令a=$\frac{x}{y}$，b=$\frac{y}{z}$，c=$\frac{z}{x}$，x、y、z∈R⁺，原不等式等價于（x+y-z）（x-y+z）（-x+y+z）≤xyz．
記u=x-y+z，v=x+y-z，ω=-x+y+z，此三數(shù)任兩個之和都為正數(shù)，
∴它們中間最多只有一個不是正數(shù)．
如果恰有一個數(shù)不是正數(shù)，則uvω≤0＜xyz，不等式得證．
如果這三個數(shù)都大于零，則依均值不等式$\sqrt{uv}$≤$\frac{（x-y+z）+（x+y-z）}{2}$=x．
同理，$\sqrt{vω}$≤y，$\sqrt{ωu}$≤z．于是，uvω≤xyz，不等式成立．
綜上所述，原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．