Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍
（3）證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x，c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．可得f（0）=0，f（-1）+f（1）=0，聯(lián)立即可解得a，b，并驗(yàn)證即可．
（2）由（1）得：f（x）=

1

2x+1

-

1

2

．利用y=2^x在R上單調(diào)遞增，可得f（x）在R上單調(diào)遞減．再利用奇偶性可得：對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立?f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
即可解出．
（3）對(duì)任何實(shí)數(shù)x，c都有f（x）＜c²-3c+3成立?f(x)max＜(c2-3c+3)min，分別求出即可．

解答： 解：（1）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
∴f（0）=

-1+b

2+a

=0，解得b=1．
令x=1，則f（-1）+f（1）=

1-2-1

1+a

+

1-2

4+a

=0，解得a=2．
∴f(x)=

1-2x

2x+1+2

．
檢驗(yàn)：其定義域?yàn)镽，且f（-x）+f（x）=

1-2-x

21-x+2

+

1-2x

2x+1+2

=

2x-1

2x+1+2

+

1-2x

2x+1+2

=0，
∴f（x）是奇函數(shù)．
∴a=2，b=1．
（2）由（1）得：f（x）=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=

1

2x+1

-

1

2

．
∵y=2^x在R上單調(diào)遞增，∴y=

1

2x+1

在R上單調(diào)遞減，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．
由對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立?f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
∴t²-2t＞k-2t²，化為k＜3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

，
∴k＜-

1

3

．
∴k的取值范圍為(-∞，-

1

3

)．
（3）證明：f（x）=

1

2x+1

-

1

2

．
∵2^x＞0，2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，-

1

2

＜f(x)＜

1

2

．
c²-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
存在任意實(shí)數(shù)c∈R，使得c²-3c+3≥

3

4

＞

1

2

＞f（x）．
∴對(duì)任何實(shí)數(shù)x，c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．