Question

13．已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}（n∈N^*），首項a₁=3，前n項和為S_n，且S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{n{a_n}}}{6}，求數(shù)列\(zhòng)left\{{b_n}\right\}的前n項和{T_n}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公比為q＞0，由等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列中項的性質(zhì)，解方程可得q，即可得到所求通項公式；
（2）求得b_n=$\frac{n{a}_{n}}{6}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）依題意公比為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}（n∈N^*），首項a₁=3，
設(shè)a_n=3q^n-1，
因為S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差數(shù)列，
所以2（S₅+a₅）=S₃+a₃+S₄+a₄，
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=（a₁+a₂+2a₃+（a₁+a₂+a₃+2a₄），
化簡得4a₅=a₃，
從而4q²=1，解得q=±$\frac{1}{2}$，
因為{a_n}（n∈N^*）公比為正數(shù)，
所以q=$\frac{1}{2}$，a_n=6×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N*；          
（2）b_n=$\frac{n{a}_{n}}{6}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則T_n=1•（$\frac{1}{2}$）+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，等差數(shù)列中項的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．