Question

20．數(shù)列{a_n}中，a_n+1=$\frac{a_n}{{2+{a_n}}}$對所有正整數(shù)n都成立，且a₁=1，則a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{a_n}{{2+{a_n}}}$對所有正整數(shù)n都成立，且a₁=1，取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{2+{a_n}}}$對所有正整數(shù)n都成立，且a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，
變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比數(shù)列，首項與公比都為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
解得a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．
故答案為：$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．

點評 本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式、“取倒數(shù)法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．