Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1-x

1+x

．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設p≥q＞0，求證：ln

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′(x)=

a

x

-

2

(1+x)2

=

a(1+x)2-2x

x(1+x)2

，由此利用導數(shù)性質結合已知條件能求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）證要證

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

，只需證

1

2

ln

p

q

+

1- p q

1+ p q

≥0．構造h（x）=

1

2

lnx+

1-x

1+x

，利用導數(shù)性質能證明當p≥q＞0，ln

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

成立．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx+

1-x

1+x

，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=

a

x

-

2

(1+x)2

=

a(1+x)2-2x

x(1+x)2

，．
∵f（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a（1+x）²-2x≥0在（0，+∞）上恒成立．
當x∈（0，+∞）時，由a（1+x）²-2x≥0得a≥

2x

(1+x)2

．
設g（x）=

2x

(1+x)2

=

2

x+ 1 x +2

，x＞0，∴g（x）≤

1

2

（當且僅當x=1時取等號），
∴a≥

1

2

，即實數(shù)a的取值范圍為[

1

2

，+∞）．
（2）證明：要證ln

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

，只需證

lnp-lnq

2

≥

p-q

p+q

，
只需證

1

2

ln

p

q

≥

p q -1

p q +1

，只需證

1

2

ln

p

q

+

1- p q

1+ p q

≥0．
設h（x）=

1

2

lnx+

1-x

1+x

，由（1）知h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
又

p

q

≥1，∴h(

p

q

)≥h(1)=0，即

1

2

ln

p

q

+

1- p q

1+ p q

≥0成立，
∴當p≥q＞0，ln

p

-ln

q

≥

p-q

p+q

成立．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．