Question

5．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）解不等式f（x）＞4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，求出f（x）的最小值；
（2）討論x的取值范圍，求出f（x）的解析式，再求不等式f（x）＞4的解集．

解答 解：（1）因?yàn)閨x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時，等號成立，
所以f（x）的最小值等于3，即a=3；
（2）由（1）知，當(dāng)-1≤x≤2時，f（x）=3，f（x）＞4不成立；
當(dāng)x＜-1時，f（x）=-（x+1）-（x-2）=-2x+1，
不等式f（x）＞4化為-2x+1＞4，解得x＜-$\frac{3}{2}$；
當(dāng)x＞2時，f（x）=（x+1）+（x-2）=2x-1，
不等式f（x）＞4化為2x-1＞4，解得x＞$\frac{5}{2}$；
所以，不等式f（x）＞4的解集為{x|x＜-$\frac{3}{2}$或x＞$\frac{5}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了絕對值不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．