Question

15．在△ABC中，已知a⁵+b⁵=c⁵，則下列結(jié)論中：
①sinA+sinB＜2sin$\frac{A+B}{2}$；
②cosB+cosC＜2cos$\frac{B+C}{2}$；
③tanA+tanC＞2tan$\frac{A+C}{2}$；
其中恒成立的有2個．

Answer 1

分析 由已知條件判斷可得△ABC為銳角三角形，然后利用三角函數(shù)的和差化積化簡分析得答案．

解答 解：在△ABC中，∵a⁵+b⁵=c⁵，
∴（a²+b²）⁵-（c²）⁵=（a²+b²）⁵-（c⁵）²
=（a²+b²）⁵-（a⁵+b⁵）²＞0，
∴a²+b²＞c²，
∴∠C為銳角，又∠A＜∠C，∠B＜∠C，
∴△ABC為銳角三角形．
則sinA+sinB=$2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$≤2sin$\frac{A+B}{2}$，故①錯誤；
cosB+cosC=$2cos\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}$＜2cos$\frac{B+C}{2}$，故②正確；
由tanA+tanC=tanAtanBtanC-tanB=tan（A+C）（1-tanAtanC）＞2tan$\frac{A+C}{2}$，故③正確．
∴恒成立的有2個．
故答案為：2個．

點(diǎn)評 本題考查三角形形狀的判斷，能由已知條件判斷出三角形為銳角三角形是關(guān)鍵，難度較大．