Question

已知f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a（a＞0），若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、[1，+∞）
• C、（2，+∞）
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：把f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立轉(zhuǎn)化為ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，由導(dǎo)數(shù)分類求得函數(shù)g（x）在[1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求得a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a（a＞0），f（x）≥2lnx，得
ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx≥0，
令g（x）=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，
則g′(x)=a-

a-2

x2

-

2

x

=

ax2-2x-a+2

x2

=

(x-1)[ax+(a-2)]

x2

．
若-

a-2

a

=1，即a=1，則g′（x）≥0，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，又g（1）=0，
∴f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；
若-

a-2

a

＞1，即a＜1，當(dāng)x∈（-∞，1），（-

a-2

a

，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，-

a-2

a

）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（-

a-2

a

）．
∵g（1）=0，∴g（-

a-2

a

）＜0，不合題意；
若-

a-2

a

＜1，即a＞1，當(dāng)x∈(-∞，-

a-2

a

)，(1，+∞)時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（-

a-2

a

，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（1）．
∵g（1）=0，∴f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立．
綜上，a的取值范圍是[1，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．