已知函數(shù)f（x）=2cosx•sin（x-
π
6
）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（
α
2
）=
1
4
，（
2π
3
＜α＜
5π
3
），求
cos(α+
3π
2
)
tan(π+α)
．
考點：三角函數(shù)的化簡求值,正弦函數(shù)的單調(diào)性
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)展開，再結(jié)合倍角公式等化簡f（x），然后求單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）求出sin（α-
π
6
）=
3
4
，再結(jié)合角的范圍以及平方關系求出cos（α-
π
6
），利用角的等價變換求值．
解答： 解：（1）f（x）=2cosx•sin（x-
π
6
）=2cosx（
3
2
sinx-
1
2
cosx）
=
3
sinxcosx-cos2x=
3
2
sin2x-
1+cos2x
2
=sin（2x-
π
6
）-
1
2
；
要求f（x）的減區(qū)間，只要2x-
π
6
∈[
π
2
+2kπ，
3π
2
+2kπ]，k∈Z，∴x∈[
π
3
+kπ，
4π
3
+kπ]；
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[
π
3
+kπ，
4π
3
+kπ]；k∈Z
（2）因為f（
α
2
）=
1
4
，（
2π
3
＜α＜
5π
3
），所以sin（α-
π
6
）=
3
4
，
∵
2π
3
＜α＜
5π
3
，∴
π
2
＜α-
π
6
＜
3π
2
，
∴cos（α-
π
6
）=-
7
4
，
∴
cos(α+
3π
2
)
tan(π+α)
=
sinα
tanα
=cosα=cos（α-
π
6
+
π
6
）
=cos（α-
π
6
）cos
π
6
-sin（α-
π
6
）sin
π
6

=-
7
4
×
3
2
-
3
4
×
1
2

=
-
21
-3
8
．
點評：本題考查了三角函數(shù)的誘導公式、倍角公式的運用化簡三角函數(shù)式；關鍵是熟練三角函數(shù)公式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ax+
a-2
x
+2-2a（a＞0），若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是（　　）
A、（1，+∞）
B、[1，+∞）
C、（2，+∞）
D、[2，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
x=4t2
y=4t
（其中t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系并取相同的單位長度，曲線C2的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=
2
2
．
（Ⅰ）把曲線C1的方程化為普通方程，C2的方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C1，C2相交于A，B兩點，AB的中點為P，過點P做曲線C2的垂線交曲線C1于E，F(xiàn)兩點，求|PE|•|PF|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）同時具有性質(zhì)：
①是周期函數(shù)且最小正周期為π；
②在[-
π
6
，
π
3
]上是增函數(shù)；
③對任意x∈R，都有f（
π
3
-x）=f（
π
3
+x）．
則函數(shù)y=f（x）的解析式可以是
 
（只需寫出滿足條件的函數(shù)y=f（x）的一個解析式即可）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sin（θ-
π
3
）=
3
2
，θ∈（0，π），則cosθ=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{bn}滿足：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1，n∈N*，令cn=
bn+1
2n+1
，n∈N*，求數(shù)列{cncn+1}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知偶函數(shù)f（x）=x2+ax+b的兩零點相差1，則實數(shù)a=
 
，b=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
|sinx|
sinx
+
|cosx|
cosx
-
2|sinxcosx|
sinxcosx
的值域為（　�。�
A、{±2，±4}
B、{0，±2，±4}
C、{0，2，-4}
D、{0，-2，4}

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