Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax³+3xlnx-1（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間$（\frac{1}{e}，e）$（其中e=2.71 828…）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=3xlnx-1并求定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），從而由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的極值；
（2）函數(shù)f（x）=ax³+3xlnx-1的定義域?yàn)椋?，+∞），再求導(dǎo)f′（x）=3（ax²+lnx+1），再令g（x）=ax²+lnx+1，再求導(dǎo)g′（x）=2ax+=，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性分類討論以確定函數(shù)是否有極值點(diǎn)及極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=3xlnx-1，
∴f′（x）=3（lnx+1），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{3}{e}$-1，
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax³+3xlnx-1的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=3（ax²+lnx+1），
令g（x）=ax²+lnx+1，則g′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故f′（x）=3（ax²+lnx+1）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f′（$\frac{1}{e}$）=3[a（$\frac{1}{e}$）²+ln+1]=3a（$\frac{1}{e}$）²＞0，
故當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，e）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）上單調(diào)遞增，
故f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）上沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a=0時(shí)，由（1）知，f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）上沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，令=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$=0解得，x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$；
故g（x）=ax²+lnx+1在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上是增函數(shù)，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上是減函數(shù)，
①當(dāng)g（e）•g（$\frac{1}{e}$）＜0，即-$\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜0時(shí)，
g（x）在（$\frac{1}{e}$，e）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在該零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，
②令g（$\frac{1}{e}$）=0得=0，不可能；
③令g（e）=0得a=-$\frac{2}{{e}^{2}}$，所以∈（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，e），
而g（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=g（$\frac{e}{2}$）=$\frac{1}{2}$+ln$\frac{e}{2}$＞0，
又g（$\frac{1}{e}$）＜0，
所以g（x）在（$\frac{1}{e}$，e）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在該零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{2}{{e}^{2}}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，化簡(jiǎn)比較困難，屬于難題．