Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=PC，E是PA的中點．
（1）求證：平面PBM⊥平面CDE；
（2）已知點M是AD的中點，點N是AC上一點，且平面PDN∥平面BEM．若BC=2AB=4，求點N到平面CDE的距離．

Answer 1

分析 （1）取PB的中點為F，連接CF和EF，證明DC⊥PB，CF⊥PB，即可證明平面PBM⊥平面CDE；
（2）利用V_N-DCE=V_E-DCN，能求出點N到平面CDE的距離．

解答 證明：（1）取PB的中點為F，連接CF和EF，
∵E是PA的中點，∴EF∥AB∥DC，
∴平面CDE與平面CDEF為同一平面，
∵PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴DCPC，DC⊥BC，即DC⊥平面PBC，∴DC⊥PB．
∵BC=PC，∴CF⊥PB，
∵CD∩CF=C，∴PB⊥平面CDE．
∵PB?平面PBM，∴平面PBM⊥平面CDE．
（2）解：過D作DG∥BM交BC于G，連接PG，
∵M是AD的中點，∴EM∥PD，
∵PD∩DG=D，∴平面PDG∥平面BEM，
∴當N是AC與DG的交點時，平面PDN∥平面BEM，
在矩形ABCD中，由已知得$\frac{CN}{AN}$=$\frac{CG}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=2AB=4，∴S_△DCN=$\frac{1}{3}$，S_△DCN=2$\sqrt{2}$，
E到平面ABCD的距離為2，設點N到平面CDE的距離為d，
由V_N-DCE=V_E-DCN得$\frac{1}{3}$×$2\sqrt{2}d$=$\frac{1}{3}×2×\frac{4}{3}$，解得d=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查等體積法求點到平面的距離，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．