Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{x-2}}-1，x≥0\\ x+2，x＜0\end{array}\right，g（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x≥0\\ \frac{1}{x}，x＜0.\end{array}\right.$則函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和是$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求得f[g（x）]的解析式，x≥0時(shí)，由${2}^{{x}^{2}-2x-2}$-1=0，可解得：x=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$（小于0，舍去）；x＜0時(shí)，由$\frac{1}{x}$+2=0，可解得：x=-$\frac{1}{2}$，從而可求函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{x-2}}-1，x≥0\\ x+2，x＜0\end{array}\right，g（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x≥0\\ \frac{1}{x}，x＜0.\end{array}\right.$，
∴f[g（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{x}^{2}-2x-2}-1，x≥2或x=0}\\{\frac{1}{x}+2，x＜0}\end{array}\right.$，且f[g（x）]=x²-2x+2，（ 0＜x＜2）
分情況討論：①x≥2或x=0時(shí)，由2x2-2x-2-1=0，
可解得：x=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$（小于0，舍去）；
②x＜0時(shí)，由$\frac{1}{x}$+2=0，可解得：x=-$\frac{1}{2}$，
③當(dāng) 0＜x＜2時(shí)，由x²-2x+2=0，無(wú)解．
∴函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和是1+$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{1}{2}+\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．