Question

8．把二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸的展開式中所有的項(xiàng)重現(xiàn)排成一列，其中有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 由二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸展開式的通項(xiàng)公式求出r=0，4，8時(shí)為有理項(xiàng)，其余6項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)；
再把展開式的9項(xiàng)全排列，6個(gè)無(wú)理項(xiàng)全排，把3個(gè)有理項(xiàng)插孔即可，從而求出對(duì)應(yīng)的概率值．

解答 解：由二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸展開式的通項(xiàng)公式得：
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{8-r}$•${（\frac{1}{2\root{4}{x}}）}^{r}$=${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${C}_{8}^{r}$•${x}^{\frac{16-3r}{4}}$．
可知當(dāng)r=0，4，8時(shí)，為有理項(xiàng)，其余6項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)．
∴展開式的9項(xiàng)全排列共有${A}_{9}^{9}$種，
有理項(xiàng)互不相鄰可把6個(gè)無(wú)理項(xiàng)全排，把3個(gè)有理項(xiàng)在形成的7個(gè)空中插孔，有${A}_{6}^{6}$•${A}_{7}^{3}$種．
∴有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為P=$\frac{{A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和排列組合知識(shí)以及古典概型的概率計(jì)算問題，是中檔題目．