Question

已知函數(shù)f(x)=

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x3-x2+ax-a(a∈R)
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求證：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由a=-3得到f（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)x的值，討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，可以得到f′（x）≥0在R上恒成立，進(jìn)而得到函數(shù)遞增，再根據(jù)零點(diǎn)判定定理即可得到證明．

解答：解：∵f(x)=

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x3-x2+ax-a(a∈R)
∴f′（x）=x²-2x+a；
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=

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x³-x²-3x+3
故f'（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）；
所以：當(dāng)x≥3或x≤-1時(shí)，f'（x）≥0，f（x）遞增；
當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減．
∴x=-1，f（x）有極大值f（-1）=

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；
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值f（3）=-6．
（2）∵f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1；
當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問(wèn)題，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是解不等式，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．屬中檔題．